Der mathematische Sinn der Null
www.liste-null.de
Bilden eines StellenwertsystemsMit Hilfe der Null ist es möglich gewesen, dass uns heute gebräuchliche Dezimalsystem zu bilden. Das Dezimalsystem besitzt die Basis zehn (dezimal à zehn). Es ist jedoch auch jede andere natürliche Zahl als Basis möglich. Die Basiszahl muss allerdings größer als eins und eine natürliche Zahl sein. Das System mit der kleinsten Basis, der Zwei, ist das Binärsystem. Dieses System wird beispielsweise in der Informatik genutzt (siehe Punkt 2.7.1). Folgende Tabelle, welche nach links und rechts beliebig erweitert werden kann, zeigt, wie sich die Wertigkeit der einzelnen Zeichen in einem beliebigen Stellenwertsystem verhält. Die Variable b steht dabei für die Basis und x steht für die Ziffer. (b c N) ; (b ≥ 2) ; (x c N) ; (x ≥ 0) ; (x ≤ (b-1))
Die einzelnen Ziffern besitzen eine Art „Einzelwert“, der mit dem „Stellenwert“ multipliziert wird. Die einzelnen Werte ergeben addiert den Gesamtwert der Zahl. Darstellung im DezimalsystemHat man beispielsweise die Zahl 26,63, so bedeutet das für das Dezimalsystem folgendes: (b = 10) ; (x c N) ; (x ≥ 0) ; (x ≤ (10-1))
Darstellung in HexadezimalsystemWie groß wäre die Zahl 26,63 des hexadezimalen Systems, also in einem System mit der Basis 16, im Dezimalsystem? Es sollte zuvor noch gesagt sein das in diesem System Zeichen für die Werte 10 bis 15 festgelegt werden müssen, denn diese Werte sind in diesem System „Einzelwerte“. Gewöhnlich nimmt man dazu einfach die Buchstaben A bis F. (b = 16) ; (x c N) ; (x ≥ 0) ; (x ≤ (16-1))
Jetzt müssen wir einfach die einzelnen Werte addieren, und kommen dadurch auf den Wert der Zahl (angegeben im Dezimalsystem). 0 * 256 + 2 * 16 + 6 * 1 + 6 * (1 : 16) + 3 * (1 : 256) Die Zahl 26,63 des Hexadezimalsystems ist demzufolge im Dezimalsystem die Zahl 38,38671875. Nach dieser Methode kann man nun jede beliebige Zahl jedes erdenklichen Zahlensystems ins Dezimalsystem umwandeln. Möchte man eine Zahl in ein anderes System umwandeln wendet man diese Methode einfach rückwärts an, ähnlich wie beim schriftlichen Dividieren. Darstellung im BinärsystemBesonders erwähnenswert ist das Binärsystem, denn es funktioniert nur mit „Ja“ und „Nein“ bzw. mit 1 und 0. Möchte man eine Zahl in das Binärsystem umwandeln, so nimmt man einfach die folgende Tabelle und geht sie von links nach rechts durch. Ist die Zahl der ersten Spalte und Zeile größer als die umzuwandelnde Zahl, so trägt man in der Zeile darunter eine Null (also Nein) ein. Ist die Zahl kleiner oder gleich so wird eine eins (also Ja) eingetragen. Wenn eine eins eingetragen wurde, Subtrahiert man den Wert aus der Zeile darüber mit der umzuwandelnden Zahl und wiederholt mit diesem Ergebnis die Schritte von eben. Ich möchte des einmal an der Zahl 93,75 verdeutlichen. Die 93,75 ist kleiner als 128, deshalb kommt unter die 128 eine 0 (und unter allen Zahlen größer als 128 wenn man die Tabelle nach links erweitern würde). Da die 93,75 kleiner als 64 ist wird unter die 64 eine 1 eingetragen. Subtrahiert man von 93,75 64 so erhält man 29,75. Die 29,75 ist kleiner als 32, deshalb kommt unter die 32 eine 0. Dies macht man dann so lange weiter, bis man auf 0 kommt. In diesem Fall wäre das zwei Stellen nach dem Komma. Die Zahl 93,75 wird also im Binären System 1011101,11 geschrieben.
|
