Multiplikation mit Null

Eine weitere Besonderheit der Null findet man in der Multiplikation. Bei der Multiplikation mit Null gilt folgende Gleichung:
a * 0 = 0 = 0 * a

Dies ist sicher leicht nachzuvollziehen wenn man sich folgendes vorstellt, dass jemand Lotto spielt und nie gewinnt. Sein Gesamtgewinn  beträgt Null. Deswegen wird die Null auch als „absorbierendes Element“ der Multiplikation bezeichnet.

Man kann die Multiplikation auch als wiederholte Addition betrachten. Nimmt man die in Punkt Addieren / Subtrahieren genannte Formel, so kommt auch bei einer wiederholten Addition auf Null.

Zum Beispiel kann man 3 * 0 auch folgendermaßen rechnen:
0 + 0 + 0 = 0

3 * 0 ist also 0. Bei der Multiplikation ist es egal ob man a * b oder b * a rechnet. Das Ergebnis bleibt gleich. Dies bedeutet, dass  3 * 0 gleich 0 * 3 ist. 0 * 3 ergibt also ebenfalls 0.

Potenzrechnung mit Null

Bei der Potenzrechnung mit der Potenz Null ist folgendes festgelegt:

a0 = 1 (a c R*)

Diese Definition ist erforderlich, um keinen Widerspruch in der Potenzrechnung zu erzeugen. Einleuchtend, wenn auch nicht hundertprozentig wissenschaftlich, wird dies beim „pascalschem Zahlendreieck“.

Das pascalsche Zahlendreieck vereinfacht das Ausmultiplizieren von Koeffizienten. Es sieht folgendermaßen aus:

1   1
/ \  / \
1   2   1
/ \  / \  / \
1   3   3   1
/ \  / \  / \  / \
1   4   6   4   1
à für a1

Hat man eine binomische Formel z. B. (x + y)2 so nimmt man einfach die Zahlenwerte aus der entsprechenden Zeile des pascalschen Zahlendreiecks und ergänzt das erste Zeichen mit xz (z entsprechend der Potenz, also in diesem Beispiel 2) und y0. Das Zweite Zeichen erweitert man mit x(z–1) und y(0+1) usw. bis sich x(z–z) und y(0+z) für das letzte Zeichen ergibt. Für das Beispiel ergibt sich dann folgendes: 1x2z0 + 2x1y1 + 1x0y2. Kürzt man diese Formel kommt man auf die auch in jedem Tafelwerk zu findende Formen (x + y)2 = x2 + 2xy + y2. Diese Kürzung ist jedoch nur möglich, wenn man annimmt, dass a0 = 1 ist, denn eine beliebige Zahl mit 1 multipliziert ergibt die Selbige.

Wenn man dieses Dreieck nach oben für a0 erweitern möchte so muss man auf 1 kommen, damit es nicht im Widerspruch zu den restlichen Erkenntnissen steht. (x + y)0 ergibt also 1x0y0. Dies kann man wiederum folgendermaßen zusammenfassen: 1x0y0 = 1*1*1 = 1

Bemerkenswert ist, dass egal wie hoch a ist, das Ergebnis von a0 immer 1 ist. Dies ist jedoch durch das Permanenzprinzip erforderlich. Das Permanenzprinzip sagt aus, dass sich die bereits gewonnenen Erkenntnisse nicht mit den neuen Erkenntnissen widersprechen dürfen.

Es gilt jedoch folgende Ausnahme 00 ist nicht lösbar!

Diese Methode ist zwar kein direkter Beweis, dass eine solche Beweisführung jedoch möglich ist bekräftigt folgendes Zitat:

„Das Argumentieren durch Widerspruch hieß in der älteren Logik reductio ad absurdum und ist nichts anderes als das indirekte Beweisen. Das "Absurde" kann dabei als negierte Antithese auftreten – d.h. Widerspruch zwischen der indirekten Annahme und der aus ihr abgeleiteten Verneinung – oder in Gestalt einer Aussage, von der man anderweitig weiß, dass sie falsch ist.

Typische Anwendungsfälle sind Beweise, in denen das Gerade- und Ungeradesein (die sog. Parität) zur Erzeugung von Widersprüchen benutzt wird.“
Quelle: gefilde.de